Question

14．已知函数f（x）=|x-2|．
（1）解不等式f（x+1）+f（x+2）＜4；
（2）若?x∈R使得f（ax）+|a|f（x）≤4成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为解不等式|x-1|+|x|＜4，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；
（2）求出f（ax）+|a|•f（x）的最小值，得到|2a-2|≤4，解出即可．

解答 解：（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，
即|x-1|+|x|＜4，
①x≤0时，不等式为：1-x-x＜4，即：x＞-$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}$＜x≤0是不等式的解；
②0＜x≤1时，不等式为：1-x+x＜4，即1＜4化成了，
∴0＜x≤1是不等式的解；
③x＞1时，不等式为：x-1+x＜4，即x＜$\frac{5}{2}$，
∴1＜x＜$\frac{5}{2}$是不等式的解，
综上，不等式的解集是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
（2）∵f（ax）+|a|•f（x）
=|ax-2|+|a|•|x-2|
=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|，
∴f（ax）+|a|•f（x）的最小值是|2a-2|，
又?x∈R，使得f（ax）+|a|f（x）≤4成立，
∴|2a-2|≤4，
解得：-1≤a≤3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．