Question

6．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²．函数$g（x）=\left\{\begin{array}{l}lgx，x＞0\\|\frac{1}{2}x+2|，x≤0\end{array}\right.$，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点个数为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 已知函数偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），可知f（x）周期为2，且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，根据偶函数的性质画出f（x）的图象，根据分段函数$g（x）=\left\{\begin{array}{l}lgx，x＞0\\|\frac{1}{2}x+2|，x≤0\end{array}\right.$，画出g（x）的图象，利用数形结合的方法求出函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点个数

解答 解：在R上的函数偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），可知f（x）周期为2，
x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，
故函数f（x）的图象如下图所示：
函数$g（x）=\left\{\begin{array}{l}lgx，x＞0\\|\frac{1}{2}x+2|，x≤0\end{array}\right.$的图象如下图所示：
函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点的个数，即为f（x）=g（x）时的交点，

由上图可知f（x）与g（x）有8个交点，
∴h（x）在区间[-5，5]内的零点的个数为8个，
故选：C

点评 此题主要考查偶函数的性质，以及零点定理的应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题．