Question

5．函数f（x）=log_a（a^x+1）+mx是偶函数．
（1）求m；
（2）当a＞1时，若函数f（x）的图象与直线l：y=-mx+n无公共点，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）=log_a（a^x+1）+mx是偶函数．则f（-x）=f（x），进而可得m的值；
（2）令log_a（a^x+1）+mx=-mx+n，即n=log_a（a^x+1）+2mx=log_a（a^x+1）-x，求出函数的值域，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_a（a^x+1）+mx是偶函数．
∴f（-x）=f（x），
即log_a（a^-x+1）-mx=log_a（a^x+1）+mx，
即log_a（$\frac{{a}^{-x}+1}{{a}^{x}+1}$）=-x=2mx，
解得：m=-$\frac{1}{2}$；
（2）令log_a（a^x+1）+mx=-mx+n，
即n=log_a（a^x+1）+2mx=log_a（a^x+1）-x，
n′=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$-1=$\frac{-1}{{a}^{x}+1}$＜0恒成立，
即n=log_a（a^x+1）-x为减函数，
∵$\lim_{x→-∞}{log}_{a}（{a}^{x}+1）-x$→+∞，
$\lim_{x→+∞}{log}_{a}（{a}^{x}+1）-x$→0，
故n∈（0，+∞），
若函数f（x）的图象与直线l：y=-mx+n无公共点，则n∈（-∞，0]

点评 本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．