Question

3．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，则f（2013）=0．

Answer 1

分析 由已知推导出f（x+12）=f（x），f（x）是奇函数，f（3）=f（-3）=0，由此能求出f（2013）．

解答 解：由f（x+6）+f（x）=2f（3），知f（x+12）+f（x+6）=2f（3），
两式相减，得f（x+12）=f（x）
由y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
知f（x-1）+f（1-x）=0，故f（x）是奇函数．
由f（x+6）+f（x）=2f（3），令x=-3，得f（3）=f（-3），
于是f（3）=f（-3）=0，
于是f（2013）=f（2013-12×167）=f（9）=f（-3）=0．
故答案为：0．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数的周期性、奇偶性的合理运用．