Question

已知函数f（x）=log₂（x²+x-a）．
（1）若f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（2，+∞），求实数a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+log

1

2

x的定义域是（0，+∞），值域为[1，+∞），求实数a的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f(x)=log2(x2+x-a)定义域为（-∞，-3）∪（2，+∞）得：不等式x²+x-a＞0的解集为（-∞，-3）∪（2，+∞），所以x²+x-a=0的根为-3，2，由韦达定理得a=6；
（2）先由函数g(x)=f(x)+log

1

2

x的定义域是（0，+∞），转化为不等式恒成立问题，求得a≤0．在由g(x)=log2

x2+x-a

x

值域为[1，+∞）得t=

x2+x-a

x

(x＞0)的最小值为2，由此求a≤0时

解答： 解：（1）由题意知：x²+x-a＞0的解集为（-∞，-3）∪（2，+∞），
所以x²+x-a=0的根为-3，2，
由韦达定理得a=6．
（2）因为函数g(x)=f(x)+log

1

2

x的定义域是（0，+∞），
所以x²+x-a＞0对x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜x²+x对x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≤0
又g(x)=f(x)+log

1

2

x=log2(x2+x-a)+log

1

2

x=log2

x2+x-a

x

g（x）值域为[1，+∞）
令t=

x2+x-a

x

(x＞0)，
由题意知，t=

x2+x-a

x

(x＞0)的最小值为2，
因为t=

x2+x-a

x

(x＞0)=x+

-a

x

+1
所以当a=0时，t=x+1＞1，无最小值，
故a=0不成立，
当a＜0时，x=

-a

时，tmin=2

-a

+1，
所以：2

-a+1

=2，
即a=-

1

4

点评：本题综合考察了对数函数的性质，运用换元，构造的方法转化求解，考察了多种数学思想，难度较大．