Question

12．已知圆C的圆心为点C（-2，1），且经过点A（0，2）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且$|MN|=2\sqrt{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且$|MN|=2\sqrt{3}$，可得圆心C到直线y=kx+1的距离为$d=\sqrt{2}$，利用点到直线的距离公式求k的值．

解答 解：（Ⅰ）圆C的半径$r=\sqrt{{{（0+2）}^2}+{{（2-1）}^2}}=\sqrt{5}$------------------（2分）
由圆心为点C（-2，1），所以圆C的方程为（x+2）²+（y-1）²=5-------------（3分）
（Ⅱ）圆心为点C（-2，1），半径为$\sqrt{5}$，$|MN|=2\sqrt{3}$，
所以圆心C到直线y=kx+1的距离为$d=\sqrt{2}$，------------------（2分）
即$\frac{|-2k-1+1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$------------------（2分）
解得k²=1，k=±1------------------（1分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．