Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．
（1）求证：PD⊥平面ABM；
（2）求直线PC与平面ABM所成的角的正切．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得M在以BD为直径的球面上，BM⊥PD，PA⊥AB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，由此能证明PD⊥平面ABM．
（2）设平面ABM与PC交于点N，由已知得AB∥平面PCD，从而AB∥MN∥CD，由MN是PN在平面ABM上的射影，得∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，由此能求出直线PC与平面ABM所成的角的正切值．

解答： （1）证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD．
因为PA⊥平面ABCD，
则PA⊥AB，又AB⊥AD，AD∩PA=A，
所以AB⊥平面PAD，
则AB⊥PD，AB∩BM=B，
因此有PD⊥平面ABM．
（2）解：设平面ABM与PC交于点N，
因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，
则AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，
且∠PNM=∠PCD，
tan∠PNM=tan∠PCD=

PD

DC

=2

2

．
故直线PC与平面ABM所成的角的正切值为2

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．