题目内容
在△ABC中，
=
．如果b=2，则△ABC面积的最大值 ．
| sinA |
| a |
| ||
| b |
考点：正弦定理
专题：解三角形
分析：利用正弦定理和已知等式求得tanB，进而求得B，利用余弦定理求得a和c的关系式，利用基本不等式的性质求得ac的最大值，进而利用三角形面积公式，利用ac的最大值求得三角形面积的最大值．
解答：
解：∵
=
，
=
，
∴sinB=
cosB，tanB=
．
∵B∈（0，π），
∴B=
，
∴cosB=
=
，
∵b=2，
∴a2+c2=ac+4≥2ac，
∴ac≤4（当且仅当a=c时，等号成立）．
所以S△ABC=
acsinB≤
，
∴△ABC面积最大值为
．
故答案为：
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| sinA |
| a |
| ||
| b |
∴sinB=
| 3 |
| 3 |
∵B∈（0，π），
∴B=
| π |
| 3 |
∴cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
∵b=2，
∴a2+c2=ac+4≥2ac，
∴ac≤4（当且仅当a=c时，等号成立）．
所以S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴△ABC面积最大值为
| 3 |
故答案为：
| 3 |
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，基本不等式的性质．考查了三角函数基础知识的综合运用．
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