Question

已知实数t，若存在t∈[

1

2

，3]使得不等式|t-1|-|2t-5|≥|x-1|+|x-2|成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：通过t的范围化简|t-1|-|2t-5|，求出最小值，通过转化已知的绝对值不等式为|x-1|+|x-2|≤

3

2

，利用绝对值不等式的解法求解即可．

解答： 解：∵t∈[

1

2

，3]，
∴|t-1|-|2t-5|=

-t+4，t≥ 5 2 3t-6，1＜t＜ 5 2 t-4，t≤1

，（4分）
可得其最大值为

3

2

．（6分）
解不等式|x-1|+|x-2|≤

3

2

，
当x≥2时，表不等式化为：x-1+x-2≤

3

2

，可得2≤x≤

9

4

，
当1＜x＜2时，不等式化为：1-x+x-2≤

3

2

，不等式恒成立，
当x＜1时，不等式化为：1-x+2-x≤

3

2

，可得

3

4

≤x＜1，
综上可得解集为[

3

4

，

9

4

]．（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，等价转化以及存在性问题的应用，考查分析问题解决问题的能力．