Question

设棱长为1的正方体为图形C₁，以C₁各个面的中心为顶点的正八面体为图形C₂，以C₂各个面的中心为顶点的正方体为图形C₃，以C₃各个面的中心为顶点的正八面体为图形C₄，…，以此类推．设正多面体C_n（n∈N⁺）的棱长为a_n（各棱长相等的多面体称为正多面体），则：
（1）a₁=1，a₂=

 

；
（2）当n为奇数时，a_n=

 

．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件先求出a₂，
（2）根据条件依次求出a₃，a₄，a₅，然后利用归纳推理得到：n为奇数时，a_n的表达式．

解答： 解：（1）正方体C₁各面中心为顶点的凸多面体C₂为正八面体，
它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，
该正方形对角线长等于正方体的棱长，
所以它的棱长a₂=

1

2

=

2

2

；
（2）以C₂各个面的中心为顶点的正方体为图形C₃是正方体，
正方体C₃面对角线长等于C₂棱长的

2

3

，（正三角形中心到对边的距离等于高的

2

3

），
因此对角线为

2

3

×

2

2

=

2

3

，所以a₃=

2

3 2

=

1

3

，
以上方式类推，得a4=

a3

2

=

2

6

，a5=

2 3 ×a4

2

=

1

9

，…，
当n为奇数时，a_n=(

1

3

)

n-1

2

，
故答案为：（1）

2

2

；（2）(

1

3

)

n-1

2

．

点评：本题主要考查等比数列得通项公式，以及归纳推理的应用，可以从中找到规律，分奇数项、偶数项讨论，可以求a_n通项公式．