Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足：
①f（x+2）=f（x）；
②当x∈[0，1]时，f（x）=

3

x．
若P₁，P₂，…，P₁₀是f（x）在x∈[3，4]图象上不同的10个点，设A（-2，0），B（1，

3

），m₁=

AB

•

AP1

（i=1，2，…，10），则m₁+m₂+…+m₁₀=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由①f（x+2）=f（x）求出函数f（x）的最小正周期为2，由函数f（x）是定义在R上的偶函数，②当x∈[0，1]时，f（x）=

3

x．求出函数f（x）在[3，4]上的解析式，
再应用向量的数量积的坐标公式即可求出m_i，从而求出则m₁+m₂+…+m₁₀的和．

解答： 解：由①f（x+2）=f（x）知函数f（x）的最小正周期为2，
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=

3

x，
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=-

3

x，
令3≤x≤4，则-1≤x-4≤0，f（x-4）=-

3

（x-4）=

3

（4-x），
∵函数f（x）的最小正周期为2，∴f（x-4）=f（x），
∴f（x）=

3

（4-x），3≤x≤4，
又A（-2，0），B（1，

3

），m_i=

AB

•

API

（i=1，2，…，10），
∴m_i=（3，

3

）•（x_i+2，

3

（4-x_i））=3x_i+6+12-3x_i=18，
∴m₁+m₂+…+m₁₀=18×10=180．
故答案为：180．

点评：本题主要考查函数的性质及应用，考查函数的奇偶性及应用，以及函数的周期性及应用，同时考查向量的数量积的坐标公式，是一道基础题．