Question

12．为了解喜好体育运动是否与性别有关，某报记者随机采访50个路人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）  15	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	8	10	5	5
喜好人数	4	6		6	3	3

（1）在调查的结果中，喜好体育运动的女性有10人，不喜好体育运动的男性有5人，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；

	喜好体育运动	不喜好体育运动	合计
男生		5
女生	10
合计			50

（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不喜好体育运动的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
下面的临界值表供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根据频率分布表，计算喜好体育运动和不喜好体育运动的人数，填写列联表，计算K²，对照临界值得出结论；
（2）根据题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）根据频率分布表知，喜好体育运动的人数为30，则不喜好体育运动的人数为20，
填写2×2列联表如下：

	喜好体育运动	不喜好体育运动	合计
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合计	30	20	50

根据列联表中数据，计算
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50{×（20×15-10×5）}^{2}}{30×20×25×25}$=3＜7.879，
对照临界值知，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，不能认为喜好体育运动与性别有关；
（2）从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，
记选中的4人中不喜好体育运动的人数为X，
依题意得X=0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{15}{75}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{34}{75}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{22}{75}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{4}{75}$，
∴X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{15}{75}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{4}{75}$

∴X的数学期望EX=0×$\frac{15}{75}$+1×$\frac{34}{75}$+2×$\frac{22}{75}$+3×$\frac{4}{75}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．