Question

7．已知${\vec e_1}$，${\vec e_2}$是同一平面内两个不共线的向量，
（1）如果$\overrightarrow{AB}$=${\vec e_1}$+${\vec e_2}$，$\overrightarrow{CB}$=2${\vec e_1}$-${\vec e_2}$，$\overrightarrow{CD}$=4${\vec e_1}$+${\vec e_2}$，求证A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k的值，使$k{\vec e_1}+4{\vec e_2}$和${\vec e_1}+k{\vec e_2}$共线．

Answer 1

分析 （1）证明$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$共线即可；
（2）利用向量共线定理和平面向量基本定理即可得出．

解答 （1）证明：∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$=$2\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}=2\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$共线，又$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$有公共点B，
∴A，B，D三点共线；
（2）解：∵若使$k{\vec e_1}+4{\vec e_2}$和${\vec e_1}+k{\vec e_2}$共线．
∴存在实数λ，使得$k{\vec e_1}+4{\vec e_2}$=λ（${\vec e_1}+k{\vec e_2}$）成立，
∴$（k-λ）\overrightarrow{{e}_{1}}+（4-λk）\overrightarrow{{e}_{2}}=0$．
∵${\vec e_1}$，${\vec e_2}$是同一平面内两个不共线的向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-λ=0}\\{4-λk=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=±2}\\{k=±2}\end{array}\right.$．
∴实数k的值是±2．

点评 本题考查了平面向量的共线定理及其应用，是基础题．