Question

18．已知函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称轴的方程和对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦函数的图象与性质，求出函数f（x）的对称轴方程以及对称中心坐标；
（Ⅱ）根据正弦函数的图象与性质，求出f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间即可；
（Ⅲ）利用正弦函数的图象与性质，求出f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5}{12}$π，k∈Z；
∴函数f（x）对称轴的方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z；
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴函数f（x）图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
令2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，解得x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，
此时函数f（x）是单调增函数，
∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]；
（Ⅲ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[-$\sqrt{3}$+1，3]；
即函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\sqrt{3}$+1，3]．

点评 本题考查了正弦函数的单调性、对称轴以及对称中心等性质的应用问题，是基础题目．