Question

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{{\sqrt{3}cosB}}$．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知可得：$\frac{sinA}{sinA}=\frac{sinB}{{\sqrt{3}cosB}}$，求得$tanB=\sqrt{3}$，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：sinA+sinC=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），由范围$A∈（0，\;\frac{2π}{3}）$，可得$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\;\frac{5π}{6}）$，由正弦函数的性质可得$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，\;1]$，即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（Ⅰ）由正弦定理：$\frac{sinA}{sinA}=\frac{sinB}{{\sqrt{3}cosB}}$，
∴$tanB=\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$．               …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$sinA+sinC=sinA+sin（A+\frac{π}{3}）$=$\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA=\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵$A∈（0，\;\frac{2π}{3}）$，∴$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\;\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，\;1]$，
∴$sinA+sinC∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\sqrt{3}]$．                  …（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．