Question

4．已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=c_n（n∈N^*）．
（1）设c_n=2ⁿ+n，a_n=n+1，当b₁=1时，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=n³，a_n=n²-8n，求正整数k，使得一切n∈N^*，均有b_n≥b_k．

Answer 1

分析 （1）由题意化简可得b_n+1-b_n=c_n，从而利用累加法求通项公式；
（2）由a_n=n²-8n可得a_n+1-a_n=2n-7，从而可得b_n+1-b_n=$\frac{{n}^{3}}{2n-7}$，从而讨论确定最小值即可．

解答 解：（1）∵c_n=2ⁿ+n，a_n=n+1，
∴a_n+1-a_n=1，
∴（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=b_n+1-b_n=c_n，
∴b₂-b₁=c₁，
b₃-b₂=c₂，
b₄-b₃=c₃，
…，
b_n-b_n-1=c_n-1，
累加可得，
b_n-b₁=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1，
∴b_n=1+2+1+4+2+8+3+…+2^n-1+n-1
=2ⁿ+$\frac{n（n-1）}{2}$-1；
（2）∵a_n=n²-8n，
∴a_n+1-a_n=（n+1）²-8（n+1）-（n²-8n）=2n-7，
∴（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=（2n-7）（b_n+1-b_n）=c_n=n³，
∴b_n+1-b_n=$\frac{{n}^{3}}{2n-7}$，
∴当n≤3时，b_n+1-b_n＜0，当n＞3时，b_n+1-b_n＞0，
∴b₄是数列{b_n}的最小值，
∴k=4．

点评 本题考查了数列的递推关系的应用及分类讨论的思想方法应用，同时考查了累加法的应用．