Question

13．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁D₁中点，则BM与AN所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{15}{17}$
• B． $\frac{16}{17}$
• C． $\frac{5}{13}$
• D． $\frac{12}{13}$

Answer 1

分析 取B₁C₁的中点P，连结BP，MP，则∠MBP是BM与AN所成的角（或所成角的补角），由此能求出BM与AN所成的角的余弦值．

解答 解：取B₁C₁的中点P，BP，MP，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，
AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁D₁中点，
∴AN∥BP，
∴∠MBP是BM与AN所成的角（或所成角的补角），
BM=BP=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，MP=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠MBP=$\frac{B{M}^{2}+B{P}^{2}-M{P}^{2}}{2BM•BP}$=$\frac{\frac{17}{4}+\frac{17}{4}-\frac{2}{4}}{2×\frac{\sqrt{17}}{2}×\frac{\sqrt{17}}{2}}$=$\frac{16}{17}$．
∴BM与AN所成的角的余弦值为$\frac{16}{17}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．