Question

已知函数y=cos2x+sinx+2．
（1）若x∈R，求该函数的最大值；
（2）若x∈[0，2π），且y＞3，求x的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用二倍角的余弦降幂，转化为关于sinx的关系式，配方即可求得该函数的最大值；
（2）由y＞3，可得2sin²x-sinx＜0，继而可得0＜sinx＜

1

2

，又x∈[0，2π），从而可得x的取值范围．

解答： 解：（1）y=cos2x+sinx+2=1-2sin²x+sinx+2=-2sin²x+sinx+3=-2(sinx-

1

4

)2+

25

8

，
当sinx=

1

4

时，该函数的最大值为

25

8

；
（2）y＞3，即-2sin²x+sinx+3＞3，2sin²x-sinx＜0，解得0＜sinx＜

1

2

，又x∈[0，2π），
所以x的取值范围是（0，

π

6

）∪（

5π

6

，2π）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．