Question

一次登岛、夺岛军事演习中，红军2000官兵乘军舰登岛，蓝军在登岛海域布置鱼雷反登岛，每搜军舰在登岛过程中被蓝军鱼雷击沉的概率为p（0＜p＜1），红军现有五艘军舰，每艘军舰最大乘员500人，躲过鱼雷袭击就能成功登岛，登岛官兵至少需要1500人，才能击败夺岛蓝军，成功夺岛，红军可选用两种方案运载官兵：
方案甲：使用4艘军舰．
方案乙：使用5艘军舰，每艘乘员400人．
（1）如果以登岛人数论成败，红军应选择哪种方案？
（2）如果以夺岛论成败，红军应选择哪种方案？

Answer 1

考点：概率的应用

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）设甲、乙方案躲过鱼雷袭击军舰数量分别为x₀，y₀，则x₀～B（4，q），y₀～B（5，q），其中p+q=1，求出EX=EY，DX＞DY，即可得出结论；
（2）甲方案红军成功夺岛的概率p₁=

C

3 4

q3p+q⁴，乙方案红军成功夺岛的概率p₂=

C

4 5

q4p+q⁵，作差，即可得出结论．

解答： 解：（1）设甲、乙方案躲过鱼雷袭击军舰数量分别为x₀，y₀，则x₀～B（4，q），y₀～B（5，q），其中p+q=1，
∴Ex₀=4q，Ey₀=5q，Dx₀=4pq，Dy₀=5pq，
甲、乙方案红军成功登岛人数分别为X=500x₀，Y=400y₀，则：EX=500Ex₀=2000q，EY=400Ey₀=2000q，
∴EX=EY，DX=500²Dx₀=4×500²pq，DY=400²Dy₀=5×400²pq．
∴DX＞DY，
∴如果以登岛人数论成败，红军应选择乙方案．
（2）甲方案红军成功夺岛的概率p₁=

C

3 4

q3p+q⁴，乙方案红军成功夺岛的概率p₂=

C

4 5

q4p+q⁵
p₁-p₂=4q⁵-8q⁴+4q³=4q³（q²-2q+1）=4q³（q-1）²＞0，
∴p₁＞p₂，
∴如果以夺岛论成败，红军应选择甲方案．

点评：本题考查概率的运用，考查学生利益数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．