Question

以棱长为1的正方体各面的中心为顶点的多面体的内切球的表面积是

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个全等的正四棱锥的组合体，一个正四棱锥的高是正方体的高的一半，求出这个多面体的体积，可得内切球的半径，即可求出内切球的表面积．

解答： 解：以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个全等的正四棱锥的组合体，
如图，一个正四棱锥的高是正方体的高的一半，
故所求的多面体的体积为2×

1

3

×

1

2

×1×1×

1

2

×1=

1

6

，
设内切球的半径为r，则8×

1

3

×

3

4

×(

2

2

)2r=

1

6

，
∴r=

3

6

，
∴内切球的表面积是4π•(

3

6

)2=

π

3

．
故答案为：

π

3

．

点评：本题考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．