Question

对于函数f（x）=a-

2

bx+1

（a∈R，b＞0，且b≠1）
（1）探索函数y=f（x）的单调性；
（2）求实数a的值，使函数y=f（x）为奇函数；
（3）在（2）条件下，令b=2，求使f（x）=m（x∈[0，1]）有解的实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号几个步骤，结合指数函数的单调性，即可判断；
（2）运用奇函数的性质：在定义域为R，f（0）=0，求出a，再由定义检验即可；
（3）求出x∈[0，1]，函数f（x）的值域，注意指数函数的单调性，即可得到．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R，
设m＜n，则f（m）-f（n）=（a-

2

bm+1

）-（a-

2

bn+1

）=

2(bm-bn)

(bm+1)(bn+1)

，
当b＞1时，由m＜n则b^m＜bⁿ，b^m+1＞0，bⁿ+1＞0，
则f（m）-f（n）＜0，即有f（x）在R上是增函数；
当0＜b＜1时，由m＜n则b^m＞bⁿ，b^m+1＞0，bⁿ+1＞0，
则f（m）-f（n）＞0，即有f（x）在R上是减函数；
（2）函数f（x）的定义域为R，由f（0）=0得a=1，
当a=1时，f（x）=1-

2

bx+1

=

bx-1

bx+1

，
f（-x）=

b-x-1

b-x+1

=

1-bx

1+bx

=-f（x），
则a=1时f（x）为奇函数；
（3）f（x）=1-

2

2x+1

，由于0≤x≤1，
则1≤2^x≤2，2≤2^x+1≤3，

2

3

≤

2

1+2x

≤1，
即有0≤f（x）≤

1

3

，则有0≤m≤

1

3

，
则实数m的取值范围是[0，

1

3

]．

点评：本题考查函数的单调性和奇偶性的判断及应用，考查运算能力，属于中档题．