Question

条件求值：
（1）已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，α∈[

π

2

，π]，求sin(2α+

π

3

)的值；
（2）已知tan（

π

4

+α）=

1

2

（i）求tanα的值
（ii）求

sin2α-cos2α

1+cos2α

的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）原等式可化简为

65

4

sin2α²+2sin2α-12=0，因为2α∈[π，2π]从而可解得sin2α=-

12

13

，故cos2α=±

5

13

，即可求出sin（2α+

π

3

）的值；
（2）（i）由已知可化简得

1+tanα

1-tanα

=

1

2

故有tanα=-

1

3

．（ii）原式可化简为

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2sinαcosα-cos2α

cos2α

=

2tanα-1

2

，代入（i）所求即可求值．

解答： 解：（1）6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0
⇒

1

2

sin2α-4cos2α+2=0
⇒

65

4

sin2α²+2sin2α-12=0
因为α∈[

π

2

，π]，故2α∈[π，2π]
所以可解得sin2α=-

12

13

或者

52

65

（舍去）
故cos2α=

1-sin22α

=±

5

13

所以sin（2α+

π

3

）=

1

2

sin2α+

3

2

cos2α=

5 3 -12

26

或

-5 3 -12

26

．
（2）（i）tan（

π

4

+α）=

1

2

⇒

tan π 4 +tanα

1-tan π 4 tanα

=

1

2

⇒

1+tanα

1-tanα

=

1

2

⇒tanα=-

1

3

．
（ii）

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2sinαcosα-cos2α

cos2α

=

2tanα-1

2

=-

5

6

．

点评：本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．