Question

若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

，则直线l的斜率的取值范围是（　　）

• A、[2-

  3

  ，1]
• B、[2-

  3

  ，2+

  3

  ]
• C、[

  3

  3

  ，

  3

  ]
• D、[0，+∞）

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：求出圆心（2，2）与半径3

2

，则圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

可化为圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤

2

；从而求直线l的斜率的取值范围．

解答： 解：圆x²+y²-4x-4y-10=0可化为
（x-2）²+（y-2）²=18，
则圆心为（2，2），半径为3

2

；
则由圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

可得，
圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤3

2

-2

2

=

2

；
即

|2a+2b|

a2+b2

≤

2

，
则a²+b²+4ab≤0，
若a=0，则b=0，故不成立，
故a≠0，则上式可化为
1+（

b

a

）²+4

b

a

≤0，
由直线l的斜率k=-

b

a

，
则上式可化为1+k²-4k≤0，
则∈[2-

3

，2+

3

]，
故选B．

点评：本题考查了直线与圆上点的距离的应用，题意中将圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

可化为圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤

2

；是本题解答的关键，属于中档题．