Question

等比数列 {a_n}中，a_n＞0（n∈N⁺），a₁a₃=4，且 a₃+1是 a₂和 a₄的等差中项，若b_n=log₂a_n+1
（Ⅰ）求数列 {b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（I）设等比数列 {a_n}的公比为q，由a_n＞0，q＞0．
∵a₃+1是 a₂和 a₄的等差中项，∴2（a₃+1）=a₂+a₄，
又a₁a₃=4，
∴

2(a1q2+1)=a1q+a1q3 a 2 1 q2=4

，解得

a1=1 q=2

，
∴an=2n-1．
∴b_n=log₂a_n+1=log22n=n．
（2）a_n•b_n=n•2^n-1，
∴数列{a_n•b_n}的前n项和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1．
2S_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

2n-1

2-1

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．