Question

设f（x）=6cos²x-sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）△ABC中锐角A满足，，角A、B、C的对边分别为a，b，c，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）将f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域即可求出f（x）的最大值，再将ω的值代入周期公式，即可求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）由第一问求出的f（x）解析式，根据f（A）=3-2，求出cos（2A+）的值，由A为锐角，求出2A+的范围，利用特殊角的三角函数值求出2A+的度数，进而确定出A的度数，再由B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，确定出cosC的值，将所求式子括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用同分母分式的减法法则计算，整理后利用余弦定理变形，将cosC的值代入即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=6cos²x-sin2x
=6×-sin2x
=3cos2x-sin2x+3
=2（cos2x-sin2x）+3
=2cos（2x+）+3，
∵-1≤cos（2x+）≤1，
∴f（x）的最大值为2+3；
又ω=2，∴最小正周期T==π；
（Ⅱ）由f（A）=3-2得：2cos（2A+）+3=3-2，
∴cos（2A+）=-1，
又0＜A＜，∴＜2A+＜，
∴2A+=π，即A=，
又B=，∴C=，
∴cosC==0，
则（+）-==2×=2cosC=0．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．