Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当PD=

2

AB且E为PB的中点时，求AE与平PDB所成的角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥BD，AC⊥PD，由此能证明平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连结OE，由AO⊥BD，AO⊥PD，得∠AEO即为所求线面角，由此能求出AE与平PDB所成的角的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，
∴AC⊥平面PBD，
又∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连结OE，设AB=a，
则PD=

2

a，OE=

2

2

a，AO=

3

2

a，
∵AO⊥BD，AO⊥PD，所以AO⊥平面PBD，
∴OE为AE在平面PBD上的射影．，
∴∠AEO即为所求线面角．
tan∠AEO=

OA

OE

=

3 2 a

2 2 a

=

6

2

，
∴AE与平面PDB所成的角的正切值为

6

2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．