Question

如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC-2，AB=4，MA=2，MA⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥平面MAC；
（2）若点E满足MC=2EC，求DE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）过点C作CF⊥AB于点F，则四边形ADCF为矩形，AF=DC=BF=CF=2，BC=2

2

，从而AD=CF=2，AC=2

2

，进而BC⊥AC，由此能证明BC⊥平面MAC．
（Ⅱ）过点E作EG⊥AC于G，连接DG，则∠EDG为DE与平面ABCD所成角，由此能求出DE与平面ABCD所成角的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：如图，在直角梯形ABCD中，
过点C作CF⊥AB于点F，
则四边形ADCF为矩形，所以AF=DC=2．
又AB=4，所以BF=2．在Rt△BFC中，
因为∠ABC=45°，所以CF=BF=2，BC=2

2

，
所以AD=CF=2，则AC=

AD2+CD2

=2

2

，
所以AC²+BC²=AB²，所以BC⊥AC，…（4分）
又MA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以MA⊥BC，
因为MA∩AC=A，所以BC⊥平面MAC．…（6分）
（Ⅱ）解：如图，在平面MAC中，过点E作EG⊥AC于G，连接DG，
则∠EDG为DE与平面ABCD所成角，…（7分）
因为MC=4EC，MA=2，AC=2

2

，所以EG=

1

2

，CG=

2

2

，
在△CDG中，∠DCG=45°，DC=2，CG=

2

2

，
由余弦定理，得DG=

4+ 1 2 -2×2× 2 2 cos45°

=

10

2

，…（10分）
在Rt△EDG中，tan∠EDG=

EG

DG

=

1 2

10 2

=

10

10

，
故DE与平面ABCD所成角的正切值为

10

10

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．