Question

已知f（x）=

2x

x+1

，当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤

2m

(x+1)|x-m|

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：由题目条件对不等式化简得x≤

m

|x-m|

，由恒成立知m∉[1，2]，对m讨论，将恒成立问题化为最值问题．

解答： 解：∵f（x）=

2x

x+1

，
∴不等式f（x）≤

2m

(x+1)|x-m|

可化为

2x

x+1

≤

2m

(x+1)|x-m|

；
又∵x∈[1，2]，
则x≤

m

|x-m|

，
则x×|x-m|-m≤0，
∵当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤

2m

(x+1)|x-m|

恒成立，
∴m∉[1，2]．
①当m＜1时，x²-mx-m≤0在[1，2]上恒成立，
∵g（x）=x²-mx-m在[1，2]上单调递增；
∴g（2）=4-3m≤0，则m≥

4

3

，不成立．
②当m＞2时，x²-mx+m≥0在[1，2]上恒成立，
（Ⅰ）当2＜m＜4时，g（x）=x²-mx+m在[1，2]上的最小值为
g（

m

2

）=（

m

2

）²-m×

m

2

+m=m-

m2

4

≥0
解得，2＜m＜4．
（Ⅱ）当m≥4时，g（x）=x²-mx+m在[1，2]上单调递减；
∴g（2）=4-m≥0，则m=4．
综上所述，2＜m≤4．

点评：本题考查了学生化简的能力，转化的思想及分类讨论的思想，综合性较强，属于中档题．