题目内容
已知函数f（x）=2
sin（x+
）cos（x+
）+sin2x+a的最大值为1．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若将f（x）的图象向左平移
个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，
]上的最大值和最小值．
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若将f（x）的图象向左平移
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性
专题：三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f（x）=2sin（2x+
）+a≤2+a=1，可得a=-1．
（Ⅱ）令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，可得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得 g（x）=2sin（2x+
）-1．再根据x∈[0，
]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最值．
| π |
| 3 |
（Ⅱ）令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（Ⅲ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得 g（x）=2sin（2x+
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解答：
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2
sin（x+
）cos（x+
）+sin2x+a=
cos2x+sin2x+a=2sin（2x+
）+a≤2+a=1，
∴a=-1．
（Ⅱ）令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得 kπ-
≤x≤kπ+
，故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z，
（Ⅲ）∴将f（x）的图象向左平移
个单位，得到函数g（x）的图象，
∴g（x）=f（x+
）=2sin[2（x+
）+
]-1=2sin（2x+
）-1．
当x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]，故当2x+
=
时，函数f（x）取得最大值为
-1，
当2x+
=
时，函数f（x）取得最小值为-2-1=-3．
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴a=-1．
（Ⅱ）令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（Ⅲ）∴将f（x）的图象向左平移
| π |
| 6 |
∴g（x）=f（x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
当x∈[0，
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 5π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
当2x+
| 2π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域、值域，属于基础题．
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