Question

已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A-BCD，如图所示．
（Ⅰ）当a=2时，求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）当二面角A-BD-C的大小为120°时，求AD与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由已知得AO⊥CO，AO⊥BD．由此能证明AO⊥平面BCD．
（Ⅱ）以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴，建立如图的空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-BC-D的正弦值．

解答： （I）证明：根据题意，在△OAC中，AC=a=2，AO=CO=

2

，
所以AC²=AO²+CO²，所以AO⊥CO，
因为ACBD是正方形ABCD的对角线，
所以AO⊥BD．
因为BD∩CO=O，
所以AO⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CO⊥OD，
如图，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴，
建立如图的空间直角坐标系O-xyz，
则有O（0，0，0），D（0，

2

，0），C（

2

，0，0），B（0，-

2

，0）．
设A（x₀，0，z₀），（x₀＜0），则

OA

=（x₀，0，z₀），

OD

=（0，

2

，0）．
又设面ABD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • OA =x0x+z0z=0 2 y1=0

，令x=z₀，得

n

=(z0，0，-x0)．
因为平面BCD的一个法向量为

m

=(0，0，1)，
且二面角A-BD-C的大小为120°，
所以|cos＜

n

，

m

＞|=|cos120°|=

1

2

，得z02=3x02．
因为|OA|=

2

，所以

x02+z02

=

2

．
解得x0=-

2

2

，z0=

6

2

．所以A（-

2

2

，0，

6

2

）．
设平面ABC的法向量为

p

=（a，b，c），
∵

BA

=（-

2

2

，

2

，

6

2

），

BC

=（

2

，

2

，0），
则

p • BA =- 2 2 a+ 2 b+ 6 2 c=0 p • BC = 2 a+ 2 b=0

，
令a=1，则

p

=（1，-1，

3

）．
设二面角A-BC-D的平面角为θ，
所以cosθ=|cos＜

p

，

m

＞|=|

3

1+1+( 3 )2

|=

15

5

．
所以sinθ=

10

5

．
所以二面角A-BC-D的正弦值为

10

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．