Question

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=1+4cosθ y=2+4sinθ

（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为

π

3

．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）消去参数θ，把曲线C的参数方程化为普通方程；由直线l过定点P，倾斜角为

π

3

，写出直线l的参数方程；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t²+（2+3

3

）t-3=0，由根与系数的关系以及t的几何意义求出|PA|•|PB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为

x=1+4cosθ y=2+4sinθ

（θ为参数），
消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x-1）²+（y-2）²=16；
∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为

π

3

，
∴直线l的参数方程为：

x=3+ 1 2 t y=5+ 3 2 t

，t为参数．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，
得t²+（2+3

3

）t-3=0，
设t₁、t₂是方程的两个根，
则t₁t₂=-3，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=3．

点评：本题考查了参数方程与普通方程的互化以及应用问题，解题时应明确参数方程中参数的几何意义，并能灵活应用，是基础题．