Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，D为
棱BB₁中点．
（Ⅰ）求证：面DA₁C⊥面AA₁C₁ C；
（Ⅱ）设AB=BC=AA₁=2，求B₁到平面A₁DC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出EF

∥

.

DB，DE∥BF，从而得到DE⊥平面A₁C₁AC，由此能够证明面DA₁C⊥面AA₁C₁C．
（Ⅱ）设B₁到平面A₁DC的距离为h．由VB1-A1DC=VC-A1B1D，利用等积法能求出B₁到平面A₁DC的距离．

解答： （Ⅰ）证明：设E是A₁C的中点，F是AC的中点，
连结DE，BF，EF，
则EF

∥

.

1

2

AA₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，
∠ABC=90°，D为棱BB₁中点，
∴DB

∥

.

1

2

AA1，∴EF

∥

.

DB，∴DE∥BF，
∵BF⊥平面A₁C₁AC，∴DE⊥平面A₁C₁AC，
∵DE?平面DA₁C，∴面DA₁C⊥面AA₁C₁C．
（Ⅱ）解：设B₁到平面A₁DC的距离为h．
∵VB1-A1DC=VC-A1B1D，AB=BC=AA₁=2，
∴VC-A1B1D=

1

3

S△A1B1D•BC=

2

3

，
VB1-A1DC=

1

3

S△A1DC•h=

2

3

，
S△A1DC=

1

2

A1C•DE=

6

，
∴

1

3

S△A1DC•h=

2

3

，解得h=

6

3

，
∴B₁到平面A₁DC的距离为

6

3

．

点评：本题考查平面垂直于平面的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．