Question

椭圆C₁以双曲线C₂：

x2

4

-

y2

16

=1的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线C₃：y²=12x交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程及线段AB的长；
（Ⅱ）在C₁与C₃图象的公共区域内，是否存在一点P（x₀，y₀），使得C₁的弦EF与C₃的弦MN相互垂直平分于点P？若存在，求点P坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,转化思想,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用双曲线与椭圆的关系，直接求椭圆C₁的方程，联立椭圆与抛物线方程求出交点坐标，即可求出线段AB的长；
（Ⅱ）设出弦EF端点的坐标代入椭圆方程，利用平方差法求出EF的斜率，讨论求出弦MN的斜率，利用相互垂直，推出关系式，说明点P不在区域内即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C₁以双曲线C2：

x2

4

-

y2

16

=1的实轴为短轴、虚轴为长轴，
∴椭圆C₁：

x2

4

+

y2

16

=1；
联立方程组

x2 4 + y2 16 =1 y2=12x

解得：

x=1 y=±2 3

，
∴A(1，2

3

)，B(1，-2

3

)，
∴|AB|=4

3

．
（Ⅱ）假设存在，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由题意将E，F坐标带入C₁，

x12

4

+

y12

16

=1，

x22

4

+

y22

16

=1
作差得：

x

2 1

-x

2 2

=

1

4

(

y

2 1

-

y

2 2

)，
kEF=

y1-y2

x1-x2

，
∵x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂）=2y₀，
∴kEF=-

16

4

x0

y0

=-4

x0

y0

，
同理将M，N坐标带入C₃得kMN=

6

y0

，
∵k_EF•k_MN=-1，∴

y

2 0

=24x0＞12x0，
故满足条件的P点在抛物线C₃外，
∴不存在这样的点P．

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆双曲线以及抛物线的位置关系，直线的垂直体积的应用，考查分析问题解决问题的能力；考查设而不求平方差法以及转化思想的应用．