题目内容
已知椭圆C的两个焦点是（0，-
）和（0，
），并且经过点(
， 1)，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．
（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求
•
的最小值．
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求
| AG |
| HB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（I）设椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，求出a，即可得出椭圆的方程，从而可得右顶点F的坐标，即可求出抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x-1），l2的方程y=-
(x-1)，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求
•
的最小值．
（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x-1），l2的方程y=-
| 1 |
| k |
| AG |
| HB |
解答：
解：（I）设椭圆的标准方程为
+
=1（a＞b＞0），焦距为2c，
则由题意得 c=
，2a=
+
=4，
∴a=2，b2=a2-c2=1，
∴椭圆C的标准方程为
+x2=1． …（4分）
∴右顶点F的坐标为（1，0）．
设抛物线E的标准方程为y2=2px（p＞0），
∴
=1， 2p=4，
∴抛物线E的标准方程为y2=4x． …（6分）
（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x-1），l2的方程y=-
(x-1)，A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），
由
消去y得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=2+
，x1x2=1．
由
消去y得：x2-（4k2+2）x+1=0，
∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1，…（9分）
∴
•
=(
+
)•(
+
)
=
•
+
•
+
•
+
•
=|
|•|
|+|
|•|
|
=|x1+1|•|x2+1|+|x3+1|•|x4+1|
=（x1x2+x1+x2+1）+（x3x4+x3+x4+1）
=8+
+4k2≥8+2
=16．
当且仅当
=4k2即k=±1时，
•
有最小值16．…（13分）
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
则由题意得 c=
| 3 |
|
|
∴a=2，b2=a2-c2=1，
∴椭圆C的标准方程为
| y2 |
| 4 |
∴右顶点F的坐标为（1，0）．
设抛物线E的标准方程为y2=2px（p＞0），
∴
| p |
| 2 |
∴抛物线E的标准方程为y2=4x． …（6分）
（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x-1），l2的方程y=-
| 1 |
| k |
由
|
∴x1+x2=2+
| 4 |
| k2 |
由
|
∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1，…（9分）
∴
| AG |
| HB |
| AF |
| FG |
| HF |
| FB |
=
| AF |
| HF |
| AF |
| FB |
| FG |
| HF |
| FG |
| FB |
=|
| AF |
| FB |
| FG |
| HF |
=|x1+1|•|x2+1|+|x3+1|•|x4+1|
=（x1x2+x1+x2+1）+（x3x4+x3+x4+1）
=8+
| 4 |
| k2 |
|
当且仅当
| 4 |
| k2 |
| AG |
| HB |
点评：本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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| ||
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