Question

P是棱长为1的正四面体内任一点，则P点到四个面的距离之和为

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：用特例法解选择题，设P为正四面体的中心，求出由棱长为1时P点到四个面的距离之和，这样可得选择题的答案．

解答： 解：设P为正四面体的中心，如图F为CD的中点，AE⊥平面BCD，
∴E为△BCD的中心，由棱长为1可以得到BF=

3

2

，BE=

2

3

×

3

2

=

3

3

，
AE=

12-( 3 3 )2

=

6

3

，
BP=AP=

6

3

-PE，
在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BP²=BE²+PE²，
把数据代入得到PE=

6

12

，
根据正四面体的中心到各面的距离相等，
∴P点到四个面的距离之和为4×

6

12

=

6

3

．
当P为正四面体内任一点，P点到四个面的距离之和均为

6

3

故答案为：

6

3

．

点评：本题考查了棱锥的结构特征，利用特除情况求解P点到四个面的距离之和是一种常用的解选择题的方法．