Question

13．在东辰学校的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x（单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．
（Ⅰ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），则取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的频率），求食堂每天面包需求量的平均数．
（Ⅱ）求T关于x函数解析式；
（III）根据直方图估计利润T不少于100元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图能求出食堂每天面包需求量的平均数．
（Ⅱ）由题意，当60≤X≤90时，利润T=5X+lg（90-X）-3×90=4X-180，当90＜X≤110时，利润T=5×90-3×90=180，由此能求出T关于x函数解析式．
（III）利润T不少于100元时，即4X-180≥100，即70≤X≤110，由此能求出利润T不少于100元的概率．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得食堂每天面包需求量的平均数为：
$\overline{x}$=65×0.025×10+75×0.015×10+85×0.020×10+95×0.025×10+105×0.015×10=84．
（Ⅱ）由题意，当60≤X≤90时，
利润T=5X+lg（90-X）-3×90=4X-180，
当90＜X≤110时，利润T=5×90-3×90=180，
即T=$\left\{\begin{array}{l}{4X-180，（60≤X≤90）}\\{180（90＜X≤110）}\end{array}\right.$．
（III）由题意，设利润T不少于100元为事件A，
由（Ⅰ）知，利润T不少于100元时，即4X-180≥100，
∴X≥70，即70≤X≤110，
由直方图可知，当70≤X≤110时，
所求利润T不少于100元的概率P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-0.025×（70-60）=0.75．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．