Question

已知三次函数f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²-6x+1（x∈R），a，b为实数．
（1）若a=3，b=3时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）设函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，若b∈[1，3]，求

g(1)

g′(0)

的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性，进而求得函数的极值；
（2）函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，所以△=b²-4a=0⇒a=

b2

4

，所以

g(1)

g′(0)

=

a+b+1

b

=

a+1

b

+1=

b2 4 +1

b

+1=

b

4

+

1

b

+1，令h（b）=

b

4

+

1

b

+1，利用导数判断其单调性，求得函数的最值，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²-6x+1，
∴f′（x）=3x²+3x-6=3（x-10）（x+2）…（2分）
令f′（x）=0，∴x=-2或x=1，

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴f（x）_极大值=f（-2）=11，f（x）_极小值=f（1）=-

5

2

…（5分）
（2）g（x）=f′（x）+7=ax²+bx+1，∴g′（x）=2ax+b，
因为函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，所以△=b²-4a=0⇒a=

b2

4

，…（8分）
所以

g(1)

g′(0)

=

a+b+1

b

=

a+1

b

+1=

b2 4 +1

b

+1=

b

4

+

1

b

+1，令h（b）=

b

4

+

1

b

+1，则
h′（b）=

1

4

-

1

b2

，令h′（b）=0，又b∈[1，3]，则b=2，
当b∈（1，2）时，h′（b）＜0，当b∈（2，3）时，h′（b）＞0，
∴h（b）_min=h（2）=

2

4

+

1

2

+1=2．∴(

g(1)

g′(0)

)min=2…（11分）
又h（1）=

9

4

，h（3）=

25

12

，
所以

g(1)

g′(0)

的取值范围是[2，

9

4

]…（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．