Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．
（1）证明：平面PBC⊥平面PDC；
（2）若∠PAB=120°，求点B到直线PC的距离．

Answer 1

分析 （1）延长BA，CD交于M点，连接MP，则BM=2，A是BM的中点，$PA=\frac{1}{2}BM$，可得MP⊥PB．利用侧面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，可得BC⊥MP，MP⊥平面PBC，即可证明；
（2）过B点引BN⊥PC于N，BN为B到直线PC的距离．

解答 （1）证明：延长BA，CD交于M点，连接MP，则BM=2，A是BM的中点，
因为$PA=\frac{1}{2}BM$，
所以MP⊥PB，
又因为侧面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，所以BC⊥平面PBM，
可得BC⊥MP，故MP⊥平面PBC，
因为MP?平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD．
（2）解：过B点引BN⊥PC于N，BN为B到直线PC的距离，
因为∠PAB=120°，PA=AD=AB=1，BC=2，
所以MP=1，PB=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{7}$，
因为BN×PC=BC×PB，
所以BN=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
所以点B到直线PC的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查线面垂直，考查点到直线距离的计算，属于中档题．