Question

18．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），f（-2）=-3，数列{a_n}是等差数列，若a₂=3，a₇=13，则f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）=（　　）

• A． -2
• B． -3
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 确定f（x）为周期为3的函数，数列{a_n}的通项公式，即可得出结论．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数且满足f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），
有f（$\frac{3}{2}$-x）=-f（-x），
则f（3-x）=-f（$\frac{3}{2}$-x）=f（-x），
即f（3-x）=f（-x），
∴f（x）为周期为3的函数，
∵数列{a_n}是等差数列，若a₂=3，a₇=13，
∴a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（4029），
∵f（-2）=-3，f（0）=0，∴f（1）=-3，
∴f（1）+f（3）+f（5）=0，
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（4029）=f（1）+f（3）=-3，
故选B．

点评 本题综合考查了函数的周期性、奇偶性、数列的概念和通项公式等知识，考查比较综合，属于中档题．