函数f(x)=x+2cosx是区间[t.t+$\frac{π}{3}}$]上的增函数.则实数t的取值范围( )A．$[{2kπ+\frac{π}{6}\;.\;2kπ+\frac{π}{3}}]$B．$[{2kπ+\frac{π}{6}\;.\;2kπ+\frac{π}{2}}]$C．$[{2kπ+\frac{π}{3}\;.\;2kπ+\frac{π}{2}}]$D．$[{2k� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

19．函数f（x）=x+2cosx是区间[t，t+$\frac{π}{3}}$]上的增函数，则实数t的取值范围（　　）

A．

$[{2kπ+\frac{π}{6}\;，\;2kπ+\frac{π}{3}}]$

B．

$[{2kπ+\frac{π}{6}\;，\;2kπ+\frac{π}{2}}]$

C．

$[{2kπ+\frac{π}{3}\;，\;2kπ+\frac{π}{2}}]$

D．

$[{2kπ-\frac{7π}{6}，2kπ-\frac{π}{6}}]$

分析求出函数的导数，得到函数的单调区间，解不等式组即可．

解答解：∵f（x）=x+2cosx，
∴f′（x）=1-2sinx，
由f′（x）=1-2sinx≥0，得sinx≤$\frac{1}{2}$，
故x∈[2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，
而f（x）是区间[t，t+$\frac{π}{3}$]上的增函数，
故$\left\{\begin{array}{l}{t≥2kπ-\frac{7π}{6}}\\{t+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，
解得：t∈[2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ-$\frac{π}{6}$]，
故选：D．

点评本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数问题，是一道基础题．

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