Question

已知二次函数f（x）同时满足①f（0）=f（2），②f（x）_max=15，③方程f（x）=0的两根的立方和等于17．（立方和公式：a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²））
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题目条件设f（x）=a（x-1）²+15（a≠0），从而解解析式；
（2）由单调性求值域．

解答： 解：（1）∵f（0）=f（2）∴对称轴为直线x=1；
依题意设f（x）=a（x-1）²+15（a≠0），方程f（x）=0的根为x₁和x₂；
则x1+x2=2，x1x2=

a+15

a

；
∴

x

3 1

+

x

3 2

=(x1+x2)(

x

2 1

-x1x2+

x

2 2

)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]
=2(4-3•

a+15

a

)=17；
解得，a=-6．
∴f（x）=-6（x-1）²+15=-6x²+12x+9．
（2）∵f（x）的图象开口向下，对称轴为直线x=-1，又∵x∈[-1，2]；
∴当x=1时，f（x）有最大值15．
当x=-1时，f（x）有最小值-9．
故f（x）的值域为[-9，15]．

点评：本题考查了二次函数的性质，是高考的重点，要求学生熟练应用二次函数的性质解题．