Question

求函数f（x）=x³+

3a

x

的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由已知得f′(x)=3x2-

3a

x2

，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出f（x）的单调区间．

解答： 解：∵f（x）=x³+

3a

x

，
∴f′(x)=3x2-

3a

x2

，
∴当a≤0时，f′（x）=3x²-

3a

x2

≥0，
函数f（x）=x³+

3a

x

的单调递增区间是（-∞，+∞）．
当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞

4	a

，或x＜-

4	a

，
由f′（x）＜0，得-

4	a

＜x＜

4	a

．
∴f（x）的增区间为（

4	a

，+∞），（-∞，-

4	a

），减区间为（-

4	a

，

4	a

）．
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞），无减区间；
当a＞0时，f（x）的增区间为（

4	a

，+∞），（-∞，-

4	a

），减区间为（-

4	a

，

4	a

）．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．