Question

△ABC中，A，B，C分别是三角形的三个内角，且有4cosB•sin2(

π

4

+

B

2

)=sin2B+1
（1）求B
（2）若cosA+cosC=1，试判断三角形的形状．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）由三角函数中的恒等变换化简可得cosB=

1

2

（B为△ABC的内角），故可求得B的值；
（2）由（1）及已知可得cosA+cos（

2π

3

-A）=1，化简可得A=

π

3

，C=

π

3

，故故三角形为等边三角形．

解答： 解：（1）4cosB•sin2(

π

4

+

B

2

)=sin2B+1
⇒4cosB•

1-cos[2×( π 4 + B 2 )]

2

=sin2B+1
⇒2cosB+2cosBsinB=sin2B+1
⇒cosB=

1

2

（B为△ABC的内角）
⇒B=

π

3

．
（2）∵∠B=

π

3

，
∴∠C=

2π

3

-A，
∴cosA+cosC=1
⇒cosA+cos（

2π

3

-A）=1
⇒cosA-

1

2

cosA+

3

2

sinA=1
⇒sin（

π

6

+A）=1
⇒

π

6

+A=

π

2

⇒A=

π

3

，C=

π

3

，
故三角形为等边三角形．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了等边三角形的判定，属于基础知识的考查．