Question

11．已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R（e是自然对数的底数）．
（1）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，讨论函数f（x）在（-∞，4]上的零点个数．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．
（2）根据（1）中函数的单调性k＞0时，讨论k取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-kx，x∈R，得f'（x）=e^x-k，
①当k≤0时，则f'（x）=e^x-k＞0对x∈R恒成立，
此时f（x）的单调递增，递增区间为（-∞，+∞）；                           
②当k＞0时，
由f'（x）=e^x-k＞0，得到x＞lnk，
由f'（x）=e^x-k＜0，得到x＜lnk，
所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（-∞，lnk）；
综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
（2）当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（-∞，lnk），
当k＞0时，令f'（x）=e^x-k=0，
得x=lnk，且f（x）在（-∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk时取得极小值，
即f（x）在（-∞，4]上最多存在两个零点．
（ⅰ）若函数f（x）在（-∞，4]上有2个零点，
则 $\left\{\begin{array}{l}{lnk＜4}\\{f（lnk）=k（1-lnk）＜0}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$，
解得k∈（e，$\frac{{e}^{4}}{4}$]；
（ⅱ）若函数f（x）在（-∞，4]上有1个零点，
则f（4）＜0或 $\left\{\begin{array}{l}{lnk≤4}\\{f（lnk）=0}\end{array}\right.$，
解得k∈（$\frac{{e}^{4}}{4}$，+∞）或k=e；                                                               
（ⅲ）若函数f（x）在（-∞，4]上没有零点，
则 $\left\{\begin{array}{l}{lnk＞4}\\{f（4）＞0}\end{array}\right.$或f（lnk）=k（1-lnk）＞0，
解得k∈（0，e）．                                                        
综上所述，当k∈（e，$\frac{{e}^{4}}{4}$]时，f（x）在（-∞，4]上有2个零点；
当k∈（$\frac{{e}^{4}}{4}$，+∞）∪（-∞，0）或k=e时，f（x）在（-∞，4]上有1个零点；
当k∈[0，e）时，f（x）在（-∞，4]上无零点．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，特别是第（2）中分类比较复杂，难度较大．