Question

3．已知O是三角形ABC内部一点，满足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{4}{7}$，则实数m=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据条件可以得出$-\frac{m}{3}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，并设$-\frac{m}{3}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}$，这样即可得出A，B，M三点共线，画出图形，并得到$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}=\frac{m}{3+m}=\frac{4}{7}$，从而解出m的值．

解答 解：如图，令$-\frac{m}{3}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}$，则：
A，B，M三点共线；
$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OM}$共线反向，$\frac{|\overrightarrow{OM}|}{|\overrightarrow{CM}|}=\frac{m}{3+m}$；
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}=\frac{|\overrightarrow{OM}|}{|\overrightarrow{CM}|}=\frac{m}{3+m}=\frac{4}{7}$；
解得m=4．
故选C．

点评 本题考查向量的数乘运算，A，B，C三点共线的充要条件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，共线向量基本定理，三角形的面积公式．