Question

16．函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则f（$\frac{π}{6}$）等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据顶点的纵坐标求A，根据周期求出ω，由于点（$\frac{π}{3}$，0）在函数图象上，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ，从而求得f（x）的解析式，进而求得f（$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：由图象可得A=$\sqrt{2}$，T=$\frac{2π}{ω}$=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$），解得ω=2．
可得：f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+φ），
由于点（$\frac{π}{3}$，0）在函数图象上，可得$\sqrt{2}$cos（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，
解得：2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即：φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由于：|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=-$\frac{π}{6}$，
故：f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{6}$），
故：f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$cos（2×$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．