Question

18．已知函数$f（x）=sinx+2{cos^2}\frac{x}{2}-1$，$g（x）=2\sqrt{2}sinxcosx$，下列结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）与g（x）的最大值不同
• B． 函数f（x）与g（x）在$（\frac{3π}{4}，\;\;\frac{5π}{4}）$上都为增函数
• C． 函数f（x）与g（x）的图象的对称轴相同
• D． 将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，再通过平移能得到g（x）的图象

Answer 1

分析 由三角恒等变换化简f（x）与g（x），再分析三角函数的性质即可．

解答 解：∵$f（x）=sinx+2{cos^2}\frac{x}{2}-1$，$g（x）=2\sqrt{2}sinxcosx$，∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），g（x）=$\sqrt{2}$sin2x，
①函数f（x）与g（x）的最大值都是$\sqrt{2}$，故A错．
②f（x）的单调增区间是（-$\frac{3π}{4}$+2kπ，$\frac{π}{4}$+2kπ），g（x）的单调增区间是（-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ），故B错．
③f（x）的对称轴是x=$\frac{π}{4}$+kπ，g（x）的对称轴是x=$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，故C错．
④f（x）的图象横坐标缩为$\frac{1}{2}$变为f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），再向右平移$\frac{π}{8}$即可得到g（x）
故选：D

点评 本题主要考察三角恒等变换，和三角函数的性质．