Question

6．已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M、N两点，设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值为-14．

Answer 1

分析 求出M，N的坐标和直线l的方程，设P（x，x-1），得出$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$关于x的函数，利用二次函数的性质求出最小值．

解答 解：抛物线的焦点F（0，1），∴直线MN的方程为：y=x+1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得M（2+2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$），N（2-2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$）．
设直线l的方程为y=x+b，代入x²=4y得x²-4x-4b=0，
∵直线l是抛物线C的切线，∴方程只有一解．
∴△=16+16b=0，解得b=-1．即l方程为：y=x-1．
设P（x，x-1），$\overrightarrow{PM}$=（2+2$\sqrt{2}$-x，4+2$\sqrt{2}$-x），$\overrightarrow{PN}$=（2-2$\sqrt{2}$-x，4-2$\sqrt{2}$-x）．
则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=[（2-x）+2$\sqrt{2}$][（2-x）-2$\sqrt{2}$]+[（4-x）+2$\sqrt{2}$][（4-x）-2$\sqrt{2}$]=2x²-12x+4=2（x-3）²-14．
∴当x=3时，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$取得最小值-14．
故答案为：-14．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的关系，属于中档题．