题目内容
【题目】已知函数
的定义域为
，若
在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若
在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为
，所有“二阶比增函数”组成的集合记为
.
(Ⅰ)已知函数
，若
且
，求实数
的取值范围；
(Ⅱ)已知
，
且的部分函数值由下表给出，
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求证：
；
(Ⅲ)定义集合
请问：是否存在常数
，使得
，
，有
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（I）
(Ⅱ)见解答(Ⅲ)
.
【解析】
试题（I）理解
且
的意义,代入后利用函数的性质求解; (Ⅱ)通过表格得到
，再运用
为增函数建立不等式，导出
，运用
即可. (Ⅲ)判断
即运用反证法证明
,如果
使得
则利用
即
为增函数一定可以找到一个
，使得
，对
成立;同样用反证法证明证明
在上无解;从而得到，
对成立,即存在常数
，使得，
，有
成立,选取一个符合条件的函数
判断
的最小值是,由上面证明结果确定即是符合条件的所有函数的结果.
试题解析：（I）因为
且
，
即
在
是增函数，所以
而
在不是增函数，而
当
是增函数时，有
，所以当不是增函数时，.
综上得
(Ⅱ) 因为，且
所以
，
所以
，
同理可证
，
三式相加得
所以
因为
所以
而
，所以
所以
(Ⅲ) 因为集合
且存在常数
,使得任取
所以，存在常数，使得
对成立
我们先证明对成立
假设使得，
记
因为
是二阶增函数，即是增函数.
所以当
时，
，所以
所以一定可以找到一个，使得
这与对成立矛盾
对成立
所以，对成立
下面我们证明在上无解
假设存在
，使得
，
则因为是二阶增函数，即是增函数
一定存在
，这与上面证明的结果矛盾
所以在上无解
综上，我们得到，对成立
所以存在常数，使得，，有成立
又令，则对成立，
又有
在上是增函数，所以
，
而任取常数
，总可以找到一个
，使得时，有
所以的最小值为.
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