题目内容
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,若椭圆经过点
,且△PF1F2的面积为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设斜率为1的直线与以原点为圆心,半径为
的圆交于A,B两点,与椭圆C交于C,D两点,且
(
),当
取得最小值时,求直线
的方程.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】
(1)根据的面积求得
的值,再利用椭圆过点
及
,求得
的值,从而求得椭圆的方程;
(2)设直线的方程为
,由直线和圆、椭圆都相交,求得
,再利用弦长公式分别计算
,
,从而建立
的函数关系式,当
取得最小值时,可求得
的值,从而得到直线
的方程.
解:(1)由的面积可得
,即
,∴
.①
又椭圆过点
,∴
.②
由①②解得,
,故椭圆
的标准方程为
.
(2)设直线的方程为
,则原点到直线
的距离
,
由弦长公式可得.
将代入椭圆方程
,得
,
由判别式,解得
.
由直线和圆相交的条件可得,即
,也即
,
设,
,则
,
,
由弦长公式,得.
由,得
.
∵,∴
,则当
时,
取得最小值
,
此时直线的方程为
.
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